Câu 1: Miền xác định của hàm số $$z = \frac{x}{{y + 1}}$$ là:

  - $$D = \mathbb{R}^2$$
  * $$D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \neq -1\}$$
  - $$D = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : x \neq y\}$$
  - $$D = \mathbb{R}^2 \backslash \{(0, 0)\}$$

Câu 2: Tìm miền xác định của hàm số: $$u = \frac{1}{{\sqrt {2{z^2} - 6{x^2} - 3{y^2} - 6} }}$$

  - $$D = \mathbb{R}^3$$
  - $$D = \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid  \dfrac{x^2}{1} + \dfrac{y^2}{2} - \dfrac{z^2}{3} = -1 \right\}$$
  - $$D = \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid  \dfrac{x^2}{1} + \dfrac{y^2}{2} - \dfrac{z^2}{3} \geq -1 \right\}$$
  * $$D = \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid  \dfrac{x^2}{1} + \dfrac{y^2}{2} - \dfrac{z^2}{3} < -1 \right\}$$

Câu 3: Tìm vi phân dz của hàm $$z = {x^2} - 2xy + \sin (xy)$$.

  - $$dz = (2x - 2y + y\cos (xy))dx$$
  - $$dz = ( - 2x + x\cos (xy))dy$$
  - $$dz = (2x - 2y + \cos (xy))dx + ( - 2x + \cos (xy))dy$$
  * $$dz = (2x - 2y + y\cos (xy))dx + ( - 2x + x\cos (xy))dy$$

Câu 4: Tìm đạo hàm riêng cấp hai $$\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {x^2}}}$$ của hàm hai biến $$z = x{e^y} + {y^2} + y\sin x$$.

  * $$\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {x^2}}} =  - y\sin x$$
  - $$\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {x^2}}} = y\sin x$$
  - $$\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {x^2}}} = {e^y} + y\cos x$$
  - $$\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {x^2}}} = {e^y} - y\sin x$$

Câu 5: Tìm vi phân cấp hai $${d^2}z$$ của hàm hai biến $$z = {x^2}{y^3}$$.

  * $${d^2}z = 2{y^3}d{x^2} + 12x{y^2}dxdy + 6{x^2}yd{y^2}$$
  - $${d^2}z = 2{y^3}d{x^2} - 12x{y^2}dxdy + 6{x^2}yd{y^2}$$
  - $${d^2}z = {y^3}d{x^2} + 6{x^2}yd{y^2}$$
  - $${d^2}z = {(2x{y^3}dx + 3{x^2}{y^2}dy)^2}$$

Câu 6: Tìm các đạo hàm riêng $$\frac{{\partial z}}{{\partial x}},\frac{{\partial z}}{{\partial y}}$$ của hàm hai biến $$z = \ln \tan \frac{x}{y}$$.

  * $$\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = \frac{2}{{y\sin (2x/y)}},\frac{{\partial z}}{{\partial y}} =  - \frac{{2x}}{{{y^2}\sin (2x/y)}}$$
  - $$\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = \frac{1}{{y\sin (2x/y)}},\frac{{\partial z}}{{\partial y}} =  - \frac{x}{{y\sin (2x/y)}}$$
  - $$\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = \ln \tan \frac{1}{y},\frac{{\partial z}}{{\partial y}} =  - \ln \tan \frac{x}{{{y^2}}}$$
  - $$\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = \frac{2}{{{y^2}{{\sin }^2}(2x/y)}},\frac{{\partial z}}{{\partial y}} =  - \frac{{2x}}{{{y^2}{{\sin }^2}(2x/y)}}$$

Câu 7: Cho hàm $$z = {x^2} - 2x + {y^2}$$. Khẳng định nào sau đây đúng?

  - $$z$$ đạt cực đại tại $$M(1,0)$$
  * $$z$$ đạt cực tiểu tại $$M(1,0)$$
  - $$z$$ có một cực đại và một cực tiểu
  - $$z$$ không có cực trị

Câu 8: Cho hàm $$z = {x^2} - 2xy + 1$$. Khẳng định nào sau đây đúng?

  - $$z$$ đạt cực đại tại $$M(0,0)$$
  - $$z$$ đạt cực tiểu tại $$M(0,0)$$
  - $$z$$ có một cực đại và một cực tiểu
  * $$z$$ có một điểm dừng là $$M(0,0)$$

Câu 9: Tìm đạo hàm riêng $$\frac{{\partial z}}{{\partial x}},\frac{{\partial z}}{{\partial y}}$$ tại điểm $$(1,2)$$, biết $$z = {(x + 2y)^y}$$.

  * $$\frac{{\partial z}}{{\partial x}}(1,2) = 10;\;\frac{{\partial z}}{{\partial y}} = 25\left( {\ln 5 + \frac{4}{5}} \right)$$
  - $$\frac{{\partial z}}{{\partial x}}(1,2) = 2;\;\frac{{\partial z}}{{\partial y}} = 25\left( {\ln 5 + \frac{4}{5}} \right)$$
  - $$\frac{{\partial z}}{{\partial x}}(1,2) = 10;\;\frac{{\partial z}}{{\partial y}} = 5\left( {\ln 5 + \frac{1}{5}} \right)$$
  - $$\frac{{\partial z}}{{\partial x}}(1,2) = 10;\;\frac{{\partial z}}{{\partial y}} = 25\ln 5$$

Câu 10: Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm $$z = {x^y}$$.

  * $$\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {x^2}}} = y(y - 1){x^{y - 2}};\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial x\partial y}} = \frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial y\partial x}} = {x^{y - 1}}(1 + y\ln x);\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {y^2}}} = {x^y}{(\ln x)^2}$$
  - $$\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {x^2}}} = {x^y}{(\ln x)^2};\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial x\partial y}} = \frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial y\partial x}} = {x^y}(1 + y\ln x);\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {y^2}}} = y(y - 1){x^{y - 2}}$$
  - $$\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {x^2}}} = y(y - 1){x^y};\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial x\partial y}} \ne \frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial y\partial x}};\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {y^2}}} = {x^y}\ln {x^2}$$
  - $$\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {x^2}}} = {x^{y - 2}};\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial x\partial y}} = \frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial y\partial x}} = ({x^y} - 1)(1 + \ln x);\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {y^2}}} = {x^y}{(\ln x)^2}$$

Câu 11: Tính các đạo hàm $$\frac{{\partial z}}{{\partial x}}$$ và $$\frac{{\partial z}}{{\partial y}}$$ nếu $${x^2} - 2{y^2} + 3{z^2} - yz + y = 0$$.

  - $$\frac{{\partial z}}{{\partial x}} =  - \frac{{6z - y}}{{2x}};\;\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = \frac{{6z - y}}{{1 - 4y - z}}$$
  * $$\frac{{\partial z}}{{\partial x}} =  - \frac{{2x}}{{6z - y}};\;\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = \frac{{1 - 4y - z}}{{6z - y}}$$
  - $$\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = \frac{{2x}}{{6z - y}};\;\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = \frac{{ - 1 + 4y + z}}{{6z - y}}$$
  - $$\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = 2x;\;\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = 1 - 4y - z$$

Câu 12: Cho hàm $$z = {x^3} - 2{x^2} + 2{y^3} + 7x - 8y$$. Khẳng định nào sau đây đúng?

  - $$z$$ có $$4$$ điểm dừng
  * $$z$$ không có điểm dừng
  - $$z$$ có điểm dừng nhưng không có cực trị
  - $$z$$ có hai cực đại và hai cực tiểu

Câu 13: Cho hàm $$z = {x^2} - y - \ln |y| - 2$$. Khẳng định nào sau đây đúng?

  * $$z$$ đạt cực tiểu tại $$M(0, - 1)$$
  - $$z$$ đạt cực đại tại $$M(0, - 1)$$
  - $$z$$ luôn có các đạo hàm riêng trên
  - $$z$$ có điểm dừng nhưng không có cực trị

Câu 14: Cho hàm $$z = {x^2} + 4xy + 10{y^2} + 2x + 16y$$. Khẳng định nào sau đây đúng?

  - $$z$$ đạt cực đại tại $$M( - 1,1)$$
  - $$z$$ đạt cực tiểu tại $$M( - 1,1)$$
  - $$z$$ đạt cực đại tại $$N(1, - 1)$$
  * $$z$$ đạt cực tiểu tại $$N(1, - 1)$$

Câu 15: Cho hàm $$z =  - {x^2} + 2{y^2} + 12x + 8y + 5$$. Khẳng định nào sau đây đúng?

  - $$z$$ đạt cực tiểu tại $$M(6,2)$$
  - $$z$$ đạt cực đại tại $$M(6,2)$$
  * $$z$$ có điểm dừng nhưng không có cực trị
  - $$z$$ không có điểm dừng

Câu 16: Cho hàm $$z = \ln x - x + \ln |y| - {y^2}/2$$. Khẳng định nào sau đây đúng?

  - $$z$$ không có cực trị
  * $$z$$ có 2 điểm cực đại
  - $$z$$ có 2 điểm cực tiểu
  - $$z$$ có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu

Câu 17: Cho hàm $$z =  - 2{x^2} + 8x + 4{y^2} - 8y + 3$$. Khẳng định nào sau đây đúng?

  - $$z$$ đạt cực tiểu tại $$M(2,1)$$
  - $$z$$ đạt cực đại tại $$M(2,1)$$
  - $$z$$ có một điểm dừng là $$N(1,2)$$
  * $$z$$ không có cực trị

Câu 18: Cho hàm $$z = x{e^y} + {x^3} + 2{y^2} - 4y$$. Khẳng định nào sau đây đúng?

  - $$z$$ đạt cực tiểu tại $$M(0,1)$$
  - $$z$$ đạt cực đại tại $$M(0,1)$$
  - $$z$$ có điểm dừng nhưng không có cực trị
  * $$z$$ không có điểm dừng

Câu 19: Tìm cực trị của hàm $$z = 2{x^2} + {y^2} - 2y - 2$$ với điều kiện $$ - x + y + 1 = 0$$. Khẳng định nào sau đây đúng?

  * $$z$$ đạt cực tiểu tại $$A\left( {\frac{2}{3}, - \frac{1}{3}} \right)$$
  - $$z$$ đạt cực đại tại $$A\left( {\frac{2}{3}, - \frac{1}{3}} \right)$$
  - $$z$$ đạt cực đại tại $$M(1,0)$$ và $$N\left( {\frac{1}{3}, - \frac{2}{3}} \right)$$
  - $$z$$ đạt cực tiểu tại $$M(1,0)$$ và $$N\left( {\frac{1}{3}, - \frac{2}{3}} \right)$$

Câu 20: Tìm cực trị của hàm $$z = 6 - 4x - 3y$$ với điều kiện $${x^2} + {y^2} = 1$$. Khẳng định nào sau đây đúng?

  - $$z$$ đạt cực đại tại $$M\left( {\frac{4}{5},\frac{3}{5}} \right)$$ và $$N\left( { - \frac{4}{5}, - \frac{3}{5}} \right)$$
  - $$z$$ đạt cực tiểu tại $$M\left( {\frac{4}{5},\frac{3}{5}} \right)$$ và $$N\left( { - \frac{4}{5}, - \frac{3}{5}} \right)$$
  * $$z$$ đạt cực đại tại $$N\left( { - \frac{4}{5}, - \frac{3}{5}} \right)$$ và cực tiểu tại $$M\left( {\frac{4}{5},\frac{3}{5}} \right)$$
  - $$z$$ đạt cực đại tại $$M\left( {\frac{4}{5},\frac{3}{5}} \right)$$ và cực tiểu tại $$N\left( { - \frac{4}{5}, - \frac{3}{5}} \right)$$

Câu 21: Tìm giá trị nhỏ nhất $$m$$ của hàm $$z = \ln x - 2y$$ trong miền: $$D:1/2 \le x \le 1,0 \le y \le 1$$.

  * $$m =  - \ln 2 - 2$$
  - $$m = \ln 2 - 2$$
  - $$m =  - \ln 2$$
  - $$m =  - 2$$

Câu 22: Tìm giá trị lớn nhất $$M$$ và giá trị nhỏ nhất $$m$$ của hàm $$z = {x^2} + 2x + 2y + 4$$ trong miền $$D: - 2 \le x \le 1, - 1 \le y \le 1$$.

  * $$M = 9,m = 1$$
  - $$M = 8,m =  - 1$$
  - $$M = 10,m = 2$$
  - $$M = 12,m =  - 2$$

Câu 23: Tìm giá trị lớn nhất $$M$$ và giá trị nhỏ nhất $$m$$ của hàm $$z = 2{x^2} + {y^2} - 2$$ trên $$D = [0,1] \times [ - 1,2]$$.

  - $$M = 1,m = 0$$
  - $$M = 5,m =  - 3$$
  - $$M = 3,m =  - 2$$
  * $$M = 4,m =  - 2$$

Câu 24: Tìm giá trị nhỏ nhất $$m$$ và giá trị lớn nhất $$M$$ của hàm $$z = {x^2}{y^2}$$ trong miền $$D: - 1 \le x \le 1, - 1 \le y \le 1$$.

  - $$m =  - 1,M = 0$$
  - $$m =  - 1,M = 1$$
  * $$m = 0,M = 1$$
  - $$m =  - 2,M =  - 1$$

Câu 25: Miền xác định của hàm số $$z = \sqrt {1 - {x^2} - {y^2}} $$ là:

  - $$D = \mathbb{R}^2$$
  * $$D = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq 1\}$$
  - $$D = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 < 1\}$$
  - $$D = \mathbb{R}^2 \backslash \{(0, 0)\}$$

Câu 26: Tìm vi phân cấp một của hàm $$z = {x^2} + {4^y}$$.

  - $$dz = 2xdx + {4^y}dy$$
  * $$dz = 2xdx + {4^y}\ln 4dy$$
  - $$dz = 2xdx + y{4^{y - 1}}dy$$
  - $$dz = {x^2}dx + y{4^y}\ln 4dy$$

Câu 27: Cho hàm hai biến $$z = {e^{x + 2y}}$$. Kết quả nào sau đây đúng?

  - $$\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {x^2}}} = {e^{x + 2y}}$$
  - $$\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {y^2}}} = 4{e^{x + 2y}}$$
  - $$\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial x\partial y}} = 2{e^{x + 2y}}$$
  * $$\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {x^2}}} = {e^{x + 2y}}$$, $$\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {y^2}}} = 4{e^{x + 2y}}$$, $$\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial x\partial y}} = 2{e^{x + 2y}}$$

Câu 28: Cho hàm f(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai tại điểm dừng $$M({x_0},{y_0})$$. Đặt $$A = {f''_{xx}}({x_0},{y_0})$$, $$B = {f''_{xy}}({x_0},{y_0})$$, $$C = {f''_{yy}}({x_0},{y_0})$$, $$\Delta  = {B^2}{\rm{ - }}AC$$. Khẳng định nào sau đây đúng?

  - Nếu $$\Delta  < 0$$ và $$A > 0$$ thì $$f$$ đạt cực đại tại $$M$$
  * Nếu $$\Delta  < 0$$ và $$A < 0$$ thì $$f$$ đạt cực đại tại $$M$$
  - Nếu $$\Delta  > 0$$ và $$A > 0$$ thì $$f$$ đạt cực tiểu tại $$M$$
  - Nếu $$\Delta  > 0$$ và $$A < 0$$ thì $$f$$ đạt cực tiểu tại $$M$$

Câu 29: Tìm đạo hàm riêng $$\frac{{\partial z}}{{\partial x}},\frac{{\partial z}}{{\partial y}}$$ tại điểm $$(1,2)$$, biết $$z = \ln ({x^2} + 2{y^2})$$.

  - $$\frac{{\partial z}}{{\partial x}}(1,2) = \frac{2}{9};\;\frac{{\partial z}}{{\partial y}}(1,2) = \frac{2}{9}$$
  - $$\frac{{\partial z}}{{\partial x}}(1,2) = \frac{5}{9};\;\frac{{\partial z}}{{\partial y}}(1,2) = \frac{1}{9}$$
  * $$\frac{{\partial z}}{{\partial x}}(1,2) = \frac{2}{9};\;\frac{{\partial z}}{{\partial y}}(1,2) = \frac{8}{9}$$
  - $$\frac{{\partial z}}{{\partial x}}(1,2) = \frac{1}{9};\;\frac{{\partial z}}{{\partial y}}(1,2) = \frac{8}{9}$$

Câu 30: Tính các đạo hàm $$\frac{{dy}}{{dx}}$$ và $$\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}$$ nếu $${({x^2} + {y^2})^3} - 3({x^2} + {y^2}) + 1 = 0$$.

  - $$\frac{{dy}}{{dx}} =  - \frac{x}{y};\;\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \frac{{{y^2} - {x^2}}}{{{y^2}}}$$
  - $$\frac{{dy}}{{dx}} =  - \frac{x}{y};\;\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} =  - \frac{x}{{{y^2}}}$$
  - $$\frac{{dy}}{{dx}} =  - \frac{x}{y};\;\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} =  - \frac{1}{y}$$
  * $$\frac{{dy}}{{dx}} =  - \frac{x}{y};\;\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} =  - \frac{{{y^2} + {x^2}}}{{{y^2}}}$$

Câu 31: Cho hàm $$z =  - 3{x^2} + 2{e^y} - 2y + 3$$. Khẳng định nào sau đây đúng?

  - $$z$$ đạt cực tiểu tại $$M(0,0)$$
  - $$z$$ đạt cực đại tại $$M(0,0)$$
  * $$z$$ có điểm dừng nhưng không có cực trị
  - $$z$$ không có điểm dừng

Câu 32: Cho hàm $$z = {x^3} - 2{x^2} + 2{y^3} + x - 8y$$. Khẳng định nào sau đây đúng?

  * $$z$$ có $$4$$ điểm dừng
  - $$z$$ không có điểm dừng
  - $$z$$ có điểm dừng nhưng không có cực trị
  - $$z$$ có hai cực đại và hai cực tiểu

Câu 33: Cho hàm $$z = 2{x^3} + {y^2} - 2{x^2} + 2x + 4y + 2$$. Khẳng định nào sau đây đúng?

  - $$z$$ có $$4$$ điểm dừng
  * $$z$$ không có điểm dừng
  - $$z$$ đạt cực tiểu tại $$M( - 1, - 2)$$
  - $$z$$ đạt cực đại tại $$M( - 1, - 2)$$

Câu 34: Tìm cực trị của hàm $$z = \ln |1 + {x^2}y|$$ với điều kiện $$x - y - 3 = 0$$. Khẳng định nào sau đây đúng?

  - $$z$$ không có cực trị
  - $$z$$ có hai điểm dừng là $$A(0, - 3)$$ và $$D(3,0)$$
  * $$z$$ đạt cực trị tại $$A(0, - 3)$$ và $$B(2, - 1)$$
  - $$z$$ đạt cực tiểu tại $$A(0, - 3)$$ và đạt cực đại tại $$B(2, - 1)$$

Câu 35: Tìm cực trị của hàm $$f(x,y) = 6 - 5x - 4y$$ với điều kiện $${x^2} - {y^2} = 9$$. Khẳng định nào sau đây đúng?

  - $$z$$ đạt cực đại tại $${P_1}(5, - 4)$$ và $${P_2}( - 5,4)$$
  - $$z$$ đạt cực tiểu tại $${P_1}(5, - 4)$$ và $${P_2}( - 5,4)$$
  - $$z$$ đạt cực đại tại $${P_2}( - 5,4)$$ và cực tiểu tại $${P_1}(5, - 4)$$
  * $$z$$ đạt cực đại tại $${P_1}(5, - 4)$$ và cực tiểu tại $${P_2}( - 5,4)$$

Câu 36: Xác định cận của tích phân: $$I = \displaystyle \iint\limits_D f(x, y)dxdy$$ trong đó $$D$$ là miền giới hạn bởi các đường: $$y = 3x$$, $$y = {x^2}$$.

  - $$I = \int\limits_0^3 d x\int\limits_{3x}^{{x^2}} f (x,y)dy$$
  - $$I = \int\limits_0^9 d x\int\limits_{{x^2}}^{3x} f (x,y)dy$$
  * $$I = \int\limits_0^9 d y\int\limits_{y/3}^{\sqrt y } f (x,y)dx$$
  - $$I = \int\limits_0^3 d y\int\limits_{y/3}^{\sqrt y } f (x,y)dx$$

Câu 37: Xác định cận của tích phân $$I = \displaystyle \iint\limits_D f(x, y)dxdy$$ trong đó $$D$$ là miền giới hạn bởi các đường: $$y = 2{x^2} - x$$ và $$y = {x^2} + 2x + 4$$.

  - $$I = \int\limits_{ - 1}^4 d x\int\limits_{{x^2} + 2x + 4}^{2{x^2} - x} f (x,y)dy$$
  - $$I = \int\limits_{ - 4}^{ - 1} d x\int\limits_{2{x^2} - x}^{{x^2} + 2x + } f (x,y)dy$$
  - $$I = \int\limits_{ - 4}^{ - 1} d x\int\limits_{{x^2} + 2x + 4}^{2{x^2} - x} f (x,y)dy$$
  * $$I = \int\limits_{ - 1}^4 d x\int\limits_{2{x^2} - x}^{{x^2} + 2x + 4} f (x,y)dy$$

Câu 38: Xác định cận của tích phân: $$I = \displaystyle \iint\limits_D f(x, y)dxdy$$ trong đó $$D$$ là miền giới hạn bởi các đường thẳng: $$x = 3,x = 5$$, $$3x - 2y + 4 = 0$$, $$3x - 2y + 1 = 0$$. \choic

  - $$I = \int\limits_3^5 d x\int\limits_{\frac{{3x + 4}}{2}}^{\frac{{3x + 1}}{2}} f (x,y)dy$$
  * $$I = \int\limits_3^5 d x\int\limits_{\frac{{3x + 1}}{2}}^{\frac{{3x + 4}}{2}} f (x,y)dy$$
  - $$I = \int\limits_3^5 d x\int\limits_{\frac{{2y - 4}}{3}}^{\frac{{2y - 1}}{3}} f (x,y)dy$$
  - $$I = \int\limits_3^5 d x\int\limits_{\frac{{2y - 1}}{3}}^{\frac{{2y - 4}}{3}} f (x,y)dy$$

Câu 39: Xác định cận của tích phân: $$I = \displaystyle \iint\limits_D f(x, y)dxdy$$ trong đó $$D$$ là miền định bởi: $$D:{x^2} + {y^2} \le 1,x \ge 0,y \ge 0$$

  - $$I = \int\limits_0^1 d x\int\limits_0^{\sqrt {1 - {y^2}} } f (x,y)dy$$
  - $$I = \int\limits_0^1 d x\int\limits_0^1 f (x,y)dy$$
  * $$I = \int\limits_0^1 d x\int\limits_0^{\sqrt {1 - {x^2}} } f (x,y)dy$$
  - Các kết quả trên đều sai

Câu 40: Xét tích phân bội ba trên hình hộp chữ nhật $$\Omega :{a_1} \le x \le {a_2}$$, $${b_1} \le y \le {b_2}$$, $${c_1} \le z \le {c_2}$$. Công thức nào sau đây đúng?

  - $$\displaystyle \iiint_{\Omega} f(x, y, z) dxdydz = \int_{a_1}^{a_2} f(x)dx \int_{b_1}^{b_2} f(y)dy \int_{c_1}^{c_2} f(z)dz$$
  * $$\displaystyle \iiint_{\Omega} f(x)g(y)h(z)dxdydz = \int_{a_1}^{a_2} f(x)dx \int_{b_1}^{b_2} g(y)dy \int_{c_1}^{c_2} h(z)dz$$
  - $$\displaystyle \iiint_{\Omega}(x + y + z)dxdydz = \int_{a_1}^{a_2} xdx + \int_{b_1}^{b_2} ydy + \int_{c_1}^{c_2} zdz$$
  - $$\displaystyle \iiint_{\Omega} xydxdydz = \int_{a_1}^{a_2} xdx \int_{b_1}^{b_2} ydy$$

Câu 41: Xác định cận của tích phân $$I = \displaystyle \iiint\limits_{\Omega} f(x,
y, z)dxdydz$$ trong đó $$\Omega $$ là miền giới hạn bởi các mặt $$x = 1,y = 2$$, $$z = 1,z = 2$$, $$x = 0,y = 0$$

  - $$I = \int\limits_0^1 d x\int\limits_1^2 d y\int\limits_1^2 f (x,y,z)dz$$
  * $$I = \int\limits_0^1 d x\int\limits_0^2 d y\int\limits_1^2 f (x,y,z)dz$$
  - $$I = \int\limits_0^2 d x\int\limits_0^{2 - x} d y\int\limits_1^2 f (x,y,z)dz$$
  - $$I = \int\limits_1^2 d x\int\limits_0^2 d y\int\limits_1^{1 - x - 2y} f (z,y,z)dz$$

Câu 42: Thay đổi thứ tự tính tích phân: $$I = \int\limits_1^4 d y\int\limits_y^{{y^2}} f (x,y)dx$$

  - $$I = \int\limits_1^{16} d x\int\limits_x^{\sqrt x } f (x,y)dy$$
  - $$I = \int\limits_1^8 d x\int\limits_{\sqrt x }^x f (x,y)dy + \int\limits_8^{16} d x\int\limits_{2\sqrt 2 }^4 f (x,y)dy$$
  * $$I = \int\limits_1^4 d x\int\limits_{\sqrt x }^x f (x,y)dy + \int\limits_4^{16} d x\int\limits_{\sqrt x }^4 f (x,y)dy$$
  - $$I = \int\limits_1^4 d x\int\limits_1^x f (x,y)dy + \int\limits_4^{16} d x\int\limits_{\sqrt x }^4 f (x,y)dy$$

Câu 43: Thay đổi thứ tự tính tích phân: $$I = \int\limits_1^2 d x\int\limits_x^{2x} f (x,y)dy$$.

  - $$I = \int\limits_1^2 d y\int\limits_y^1 f (x,y)dx + \int\limits_2^4 d y\int\limits_2^{y/2} f (x,y)dx$$
  * $$I = \int\limits_1^2 d y\int\limits_1^y f (x,y)dx + \int\limits_2^4 d y\int\limits_{y/2}^2 f (x,y)dx$$
  - $$I = \int\limits_1^4 d y\int\limits_1^2 f (x,y)dx$$
  - $$I = \int\limits_0^4 d y\int\limits_1^2 f (x,y)dx$$

Câu 44: Đặt $$I = \displaystyle \iint\limits_{D} f(x, y)dxdy$$ trong đó $$D$$ là tam giác có các đỉnh là $$O(0,0)$$, $$A(0,1)$$ và $$B(1,1)$$. Khẳng định nào sau đây đúng?

  - $$I = \int\limits_0^1 d x\int\limits_x^1 f (x,y)dy = \int\limits_0^1 d y\int\limits_y^1 f (x,y)dx$$
  * $$I = \int\limits_0^1 d x\int\limits_x^1 f (x,y)dy = \int\limits_0^1 d y\int\limits_0^y f (x,y)dx$$
  - $$I = \int\limits_0^1 d y\int\limits_y^1 f (x,y)dx = \int\limits_0^1 d x\int\limits_0^x f (x,y)dy$$
  - $$I = \int\limits_0^1 d y\int\limits_y^1 f (x,y)dx = \int\limits_0^1 d x\int\limits_x^1 f (x,y)dy$$

Câu 45: Đặt $$I = \displaystyle \iint\limits_{D} f(x, y)dxdy$$ trong đó $$D$$ là tam giác có các đỉnh là $$A(0,1)$$, $$B(1,0)$$ và $$C(1,1)$$. Khẳng định nào sau đây đúng?

  - $$I = \int\limits_0^1 d y\int\limits_0^{1 - y} f (x,y)dx = \int\limits_0^1 d x\int\limits_1^x f (x,y)dy$$
  - $$I = \int\limits_0^1 d y\int\limits_{1 - x}^1 f (x,y)dx = \int\limits_0^1 d x\int\limits_0^{1 - y} f (x,y)dy$$
  * $$I = \int\limits_0^1 d x\int\limits_{1 - x}^1 f (x,y)dy = \int\limits_0^1 d y\int\limits_{1 - y}^1 f (x,y)dx$$
  - $$I = \int\limits_0^1 d x\int\limits_0^{1 - x} f (x,y)dy = \int\limits_0^1 d y\int\limits_0^{1 - y} f (x,y)dx$$

Câu 46: Tính tích phân $$I = \int\limits_0^1 d x\int\limits_0^{2x} 3 (x + y)dy$$

  - $$I = 3$$
  - $$I =  - 3$$
  - $$I =  - 4$$
  * $$I = 4$$

Câu 47: Tính tích phân $$I = 2\int\limits_0^1 d y\int\limits_0^y {{e^{x + y}}} dx$$

  - $$I = {e^2} + e$$
  - $$I = {e^2} + e - 2$$
  - $$I = {e^2} - e$$
  * $$I = {e^2} - 2e + 1$$

Câu 48: Tính tích phân $$I = \displaystyle \iint\limits_{D} 2x^2 ydxdy$$ trong đó $$D$$ là tam giác với các đỉnh $$O(0,0)$$, $$A(1,0)$$ và $$B(1,1)$$.

  - $$I = 1$$
  - $$I = 2$$
  * $$I = \frac{1}{5}$$
  - $$I = \frac{1}{4}$$

Câu 49: Tính tích phân $$I = \displaystyle \iint\limits_{D} (3x + 2)dxdy$$ trong đó $$D$$ là tam giác OAB với $$O(0,0)$$, $$A(1,0)$$ và $$B(1,1)$$.

  - $$I = 0$$
  - $$I = 1$$
  * $$I = 2$$
  - $$I = 3$$

Câu 50: Tính tích phân $$I = \displaystyle \iint\limits_{D} \frac{dxdy}{\sqrt{x^2
+ y^2}}$$ trong đó $$D$$ là hình tròn $${x^2} + {y^2} \le 9$$.

  - $$I = 3\pi $$
  * $$I = 6\pi $$
  - $$I = 9\pi $$
  - $$I = 18\pi $$

Câu 51: Tính tích phân kép: $$I = \displaystyle \iint\limits_{D} \sqrt{x^2 +
y^2}dxdy$$ trong đó $$D$$ là hình vành khăn $$1 \le {x^2} + {y^2} \le 4$$.

  - $$I = \frac{\pi }{2}$$
  - $$I = \pi $$
  - $$I = 2\pi $$
  * $$I = \frac{{14\pi }}{3}$$

Câu 52: Tính tích phân bội ba: $$I = \displaystyle \iiint\limits_{\Omega} xye^z
dxdydz$$ trong đó $$\Omega $$ là miền: $$0 \le x \le 2$$, $$ - 2 \le y \le 2$$, $$\ln 2 \le z \le \ln 4$$.

  - $$I = 2$$
  - $$I = 4$$
  - $$I = 8$$
  * $$I = 0$$

Câu 53: Tính tích phân bội ba: $$I = \displaystyle \iiint\limits_{\Omega} x
\sin 2ydxdydz$$ trong đó $$\Omega $$ là miền $$0 \le x \le 1$$, $$0 \le y \le \pi /2$$, $$0 \le z \le 2$$.

  - $$I = \frac{1}{2}$$
  * $$I = 1$$
  - $$I = \frac{1}{4}$$
  - $$I = 2$$

Câu 54: Tính tích phân bội ba của hàm số $$f(x,y,z) = {x^{15}}(y + z)$$ trên miền $$\Omega $$ định bởi $$0 \le x \le 1$$, $$0 \le y \le 2$$, $$0 \le z \le 2$$.

  - $$I = 0$$
  - $$I = 1$$
  - $$I = 2$$
  * $$I = \frac{1}{2}$$

Câu 55: Tính tích phân bội ba của hàm số $$f(x,y,z) = {\sin ^{101}}x\ln (y + z)$$ trên miền $$\Omega :0 \le x \le 2\pi $$, $$1 \le y \le e$$, $$1 \le z \le e$$.

  * $$I = 0$$
  - $$I = \frac{1}{{e + 1}}$$
  - $$I = 2\ln (e + 1) + \ln 2$$
  - $$I = 2$$

Câu 56: Tính tích phân kép $$I = \int\limits_0^1 d y\int\limits_{\sqrt y }^1 {\sin } ({x^3} - 1)dx$$.

  - $$I = \frac{{\cos (1) + 1}}{3}$$
  * $$I = \frac{{\cos (1) - 1}}{3}$$
  - $$I = \frac{{\sin (1) - 1}}{3}$$
  - $$I = \frac{{\sin (1)}}{3}$$

Câu 57: Tính tích phân $$I = \displaystyle \iiint\limits_{\Omega} xy^4
z^5 dxdydz$$ trong đó $$\Omega $$ là phần chung của hai hình cầu $${x^2} + {y^2} + {z^2} \le {R^2}$$ và $${x^2} + {y^2} + {(z - R)^2} \le {R^2}$$.

  * $$I = 0$$
  - $$I = \pi R\sqrt 3 $$
  - $$I = \pi R\sqrt 3 /2$$
  - $$I = 2\pi R\sqrt 3 $$

Câu 58: Tính tích phân $$I = \displaystyle \iiint\limits_{\Omega}
\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}dxdydz$$ trong đó $$\Omega $$ giới hạn bởi $$z = \sqrt {{x^2} + {y^2}} ,{x^2} + {y^2} + {z^2} = z$$.

  * $$I = \left( {\frac{1}{{10}} - \frac{{\sqrt 2 }}{{80}}} \right)\pi $$
  - $$I = \frac{{\sqrt 2 }}{{80}}\pi $$
  - $$I = \frac{1}{{10}} - \frac{{\sqrt 2 }}{{80}}$$
  - $$I = \pi $$

Câu 59: Tính tích phân $$I = \displaystyle \iiint\limits_{\Omega}
e^{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} dxdydz$$ trong đó $$\Omega $$ giới hạn bởi $$y = 0,{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\;(y \le 0)$$.

  - $$I = \pi \frac{e}{3}$$
  - $$I = \pi \frac{{e - 1}}{3}$$
  * $$I = 2\pi \frac{{e - 1}}{3}$$
  - $$I = \frac{{e\pi }}{2}$$

Câu 60: Xác định cận của tích phân: $$I = \iint\limits_D f(x, y) dxdy$$ trong đó $$D$$ là miền giới hạn bởi các đường: $$y = x + {x^2}$$, $$y = 2x$$.

  - $$I = \int\limits_{ - 1}^0 d x\int\limits_{2x}^{{x^2} + x} f (x,y)dy$$
  - $$I = \int\limits_{ - 2}^0 d x\int\limits_{{x^2} + x}^{2x} f (x,y)dy$$
  - $$I = \int\limits_0^1 d x\int\limits_{2x}^{{x^2} + x} f (x,y)dy$$
  * $$I = \int\limits_0^1 d x\int\limits_{{x^2} + x}^{2x} f (x,y)dy$$

Câu 61: Xác định cận của tích phân: $$I = \displaystyle \iint\limits_D f(x, y)dxdy$$ trong đó $$D$$ là miền giới hạn bởi các đường: $$y = {x^2} + 2$$, $$y = 3x$$.

  * $$I = \int\limits_1^2 d x\int\limits_{{x^2} + 2}^{3x} f (x,y)dy$$
  - $$I = \int\limits_1^2 d x\int\limits_{3x}^{{x^2} + 2} f (x,y)dy$$
  - $$I = \int\limits_2^1 d x\int\limits_{{x^2} + 2}^{3x} f (x,y)dy$$
  - $$I = \int\limits_2^1 d x\int\limits_{3x}^{{x^2} + 2} f (x,y)dy$$

Câu 62: Xác định cận của tích phân: $$I = \displaystyle \iint\limits_{D} f(x, y)dxdy$$ trong đó $$D$$ là miền định bởi $$D:y \ge {x^2},y \le 4 - {x^2}.$$

  - $$I = \int\limits_{ - \sqrt 2 }^{\sqrt 2 } d x\int\limits_{4 - {x^2}}^{{x^2}} f (x,y)dy$$
  * $$I = \int\limits_{ - \sqrt 2 }^{\sqrt 2 } d x\int\limits_{{x^2}}^{4 - {x^2}} f (x,y)dy$$
  - $$I = \int\limits_{ - 2}^2 d x\int\limits_{{x^2}}^{4 - {x^2}} f (x,y)dy$$
  - $$I = \int\limits_{ - \sqrt 2 }^{\sqrt 2 } d x\int\limits_0^4 f (x,y)dy$$

Câu 63: Xét tích phân bội ba $$I = \displaystyle \iiint\limits_{\Omega} f(x,
y, z)dxdydz$$ trong đó $$\Omega $$ là miền trong không gian được giới hạn bởi các mặt: $$x = 0,y = 0,x + y = 2,z = 0$$ và $$z = 2$$. Đẳng thức nào sau đây đúng?

  - $$I = \int\limits_0^2 d x\int\limits_0^2 d y\int\limits_0^2 f (x,y,z)dz$$
  * $$I = \int\limits_0^2 d x\int\limits_0^{2 - x} d y\int\limits_0^2 f (x,y,z)dz$$
  - $$I = \int\limits_0^2 d x\int\limits_0^{2 - x} d y\int\limits_0^{2 - x - y} f (x,y,z)dz$$
  - $$I = \int\limits_0^2 d x\int\limits_0^{2 - x} d y\int\limits_0^{x + y} f (x,y,z)dz$$

Câu 64: Đặt $$I = \displaystyle \iint\limits_{D} f(x, y)dxdy$$ trong đó $$D$$ là tam giác có các đỉnh là $$O(0,0)$$, $$A(1,0)$$ và $$B(1,1)$$. Khẳng định nào sau đây đúng?

  * $$I = \int\limits_0^1 d x\int\limits_0^x f (x,y)dy = \int\limits_0^1 d y\int\limits_y^1 f (x,y)dx$$
  - $$I = \int\limits_0^1 d x\int\limits_0^2 f (x,y)dy = \int\limits_0^1 d y\int\limits_1^y f (x,y)dx$$
  - $$I = \int\limits_0^1 d y\int\limits_y^1 f (x,y)dx = \int\limits_0^1 d x\int\limits_0^1 f (x,y)dy$$
  - $$I = \int\limits_0^1 d y\int\limits_y^1 f (x,y)dx = \int\limits_0^1 d x\int\limits_x^1 f (x,y)dy$$

Câu 65: Tính tích phân $$I = \int\limits_0^1 d y\int\limits_0^{{y^2}} 3 {y^3}{e^{xy}}dx$$

  - $$I = 2 - e$$
  - $$I = 0$$
  * $$I = e - 2$$
  - $$I = e + 2$$

Câu 66: Tính tích phân $$I = \displaystyle \iint\limits_{D}
\frac{dxdy}{(x+y)^2}$$ trong đó $$D$$ là hình vuông $$1 \le x \le 2$$, $$0 \le y \le 1$$.

  - $$I = \ln 3 - \ln 4$$
  - $$I = \ln 4 + \ln 3$$
  * $$I = \ln 4 - \ln 3$$
  - $$I = 0$$

Câu 67: Tính tích phân: $$I = \displaystyle \iint\limits_{D} (x^2 +
y^2)dxdy$$ trong đó $$D$$ là hình tròn $${x^2} + {y^2} \le 1$$.

  * $$I = \frac{\pi }{2}$$
  - $$I = \frac{{2\pi }}{3}$$
  - $$I = \frac{\pi }{4}$$
  - $$I = \frac{\pi }{8}$$

Câu 68: Tính tích phân bội hai: $$I = \displaystyle \iint\limits_{D} \sqrt{x^2 +
y^2}dxdy$$ trong đó $$D$$ là phần hình tròn $${x^2} + {y^2} \le 4$$ thuộc góc phần tư thứ nhất.

  * $$I = \frac{{4\pi }}{3}$$
  - $$I = \frac{{2\pi }}{3}$$
  - $$I = \frac{{8\pi }}{3}$$
  - $$I = \frac{{3\pi }}{4}$$

Câu 69: Tính tích phân $$I = \displaystyle \iiint\limits_{\Omega}
(10x^3)(11y^2)zdxdydz$$ trong đó $$\Omega $$ là miền định bởi $$0 \le x \le 1$$, $$0 \le y \le x$$, $$0 \le z \le xy$$.

  - $$I = 110$$
  - $$I = 11$$
  * $$I = 1$$
  - $$I = 121000$$

Câu 70: Tính diện tích miền giới hạn bởi các đường: $${y^2} = 4 - x$$ và $$2{y^2} = x + 8$$.

  - $$S =  - 16$$
  - $$S = 16$$
  * $$S = 32$$
  - $$S = 64$$

Câu 71: Tính tích phân đường $$I = \int\limits_C {{{(x + y)}^2}} dl$$, trong đó $$C$$ có phương trình $$x + y = a$$, $$0 \le x \le a$$.

  - $$I = {a^2}$$
  - $$I = 2{a^2}$$
  - $$I = {a^2}\sqrt 2 $$
  * $$I = {a^3}\sqrt 2 $$

Câu 72: Tính tích phân đường $$I = \int\limits_C {(x - y)} dl$$, trong đó $$C$$ có phương trình $$x + y = 1$$, $$0 \le x \le 1$$.

  - $$I = 1$$
  - $$I =  - \sqrt 2 $$
  * $$I = 0$$
  - $$I = \sqrt 2 $$

Câu 73: Tính tích phân đường $$I = \int\limits_C {{x^5}} {y^2}dl$$, trong đó $$C$$ có phương trình $$y = x$$, $$0 \le x \le a$$.

  - $$I = 0$$
  - $$I = 2\sqrt 2 $$
  - $$I = \frac{{{a^8}\sqrt 2 }}{4}$$
  * $$I = \frac{{{a^8}\sqrt 2 }}{8}$$

Câu 74: Tính tích phân đường $$I = \int\limits_C {\frac{{dl}}{{x + y}}} $$, trong đó $$C$$ là đoạn thẳng có phương trình $$x + y = a$$, $$0 \le x \le a$$.

  * $$I = \sqrt 2 $$
  - $$I = \sqrt a $$
  - $$I =  - \sqrt a $$
  - $$I =  - \sqrt 2 $$

Câu 75: Tính tích phân đường $$I = \int\limits_C y dl$$, trong đó $$C$$ có phương trình $$x + y = 1$$, $$0 \le x \le 1$$.

  - $$I = \sqrt 2 $$
  * $$I = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$
  - $$I = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}$$
  - $$I = \frac{1}{2}$$

Câu 76: Tính tích phân đường $$I = \int\limits_C {({x^2} + {y^2})} dl$$, trong đó $$C$$ là đường tròn $${x^2} + {y^2} = {R^2}$$.

  * $$I = 2\pi {R^3}$$
  - $$I = \frac{{2\pi {R^3}}}{3}$$
  - $$I = \frac{{\pi {R^4}}}{3}$$
  - $$I = 2\pi {R^2}$$

Câu 77: Hãy tính tích phân đường $$I = \int\limits_C {({x^2} + {y^2})} dl$$ trong đó $$C$$ là $$1/4$$ đường tròn $${x^2} + {y^2} = 16$$, $$x \ge 0$$, $$y \ge 0$$

  - $$I = \pi $$
  - $$I = 8\pi $$
  - $$I = 16\pi $$
  * $$I = 32\pi $$

Câu 78: Tính tích phân đường $$I = \int\limits_C {{x^2}} dl$$, trong đó $$C$$ là đường tròn $${x^2} + {y^2} = 4$$.

  - $$I = 2\pi $$
  - $$I = 4\pi $$
  - $$I = 6\pi $$
  * $$I = 8\pi $$

Câu 79: Tính tích phân $$I = \int\limits_{OA} {({y^2} - 2xy)} dx + (2xy - {x^2})dy$$ lấy theo đoạn thẳng nối từ $$O(0,0)$$ đến $$A(1,2)$$.

  - $$I = 0$$
  - $$I = 1$$
  * $$I = 2$$
  - $$I = 3$$

Câu 80: Tính tích phân$$I = \int\limits_{OA} x (4y + 1)dx + 2({x^2} + 1)dy$$     ở đây $OA$ là cung parabol $y = x^2 /4$ từ $O(0, 0)$ đến $A(2, 1)$.

  - $$I = 0$$
  - $$I = 4$$
  - $$I = 8$$
  * $$I = 12$$

Câu 81: Tính tích phân $$I = \int\limits_{AB} {(12y - 1)} dx + (12x + 2)dy$$ lấy theo đường $$y = 4{x^2} - 3x + 1$$ từ $$A(0,1)$$ đến $$B(1,2)$$.

  - $$I = 0$$
  * $$I = 25$$
  - $$I = 17$$
  - $$I = 8$$

Câu 82: Tính tích phân: $$I = \displaystyle \iint\limits_{S} ds$$ trong đó $$S$$ là mặt $$z = 3$$, $$0 \le x \le 1$$, $$0 \le y \le 2$$.

  * $$I = 2$$
  - $$I = 4$$
  - $$I = 6$$
  - $$I = 12$$

Câu 83: Tính tích phân: $$I = \displaystyle \iint\limits_{S} ds$$ trong đó $$S$$ là mặt $$z = 2x$$, $$0 \le x \le 1$$, $$0 \le y \le 2$$.

  - $$I = \sqrt 5 $$
  * $$I = 2\sqrt 5 $$
  - $$I = \sqrt 2 $$
  - $$I = 2\sqrt 2 $$

Câu 84: Tính tích phân: $$I = \int\limits_{(2,1)}^{(1,2)} {\frac{{2ydx - 2xdy}}{{{x^2}}}} $$ theo đường không cắt trục Oy.

  * $$I =  - 3$$
  - $$I = 3$$
  - $$I =  - 4$$
  - $$I = 4$$

Câu 85: Tính tích phân: $$I = \displaystyle \iint\limits_{S} ds$$ trong đó $$S$$ là mặt $$x = 4$$, $${y^2} + {z^2} \le 6$$.

  - $$I = \pi $$
  - $$I = 4\pi $$
  * $$I = 6\pi $$
  - $$I = 24\pi $$

Câu 86: Tính tích phân: $$I = \displaystyle \iint\limits_{S} (x^2 - xz +
1)ds$$ trong đó $$S$$ là mặt $$z = x$$, $${x^2} + {y^2} \le 1$$.

  - $$I = 2\pi $$
  - $$I = \pi $$
  * $$I = \pi \sqrt 2 $$
  - $$I = 2\pi \sqrt 2 $$

Câu 87: Tính tích phân đường $$I = \int\limits_C {(x + y)} dl$$, trong đó $$C$$ có phương trình $$x + y = 1$$, $$0 \le x \le 1$$.

  * $$I = \sqrt 2 $$
  - $$I = 1$$
  - $$I = \frac{1}{2}$$
  - $$I = 2$$

Câu 88: Tính tích phân đường $$I = \int\limits_C {(x - y)} dl$$, trong đó $$C$$ là đoạn thẳng nối các điểm $$O(0,0)$$ và $$A(2,2)$$.

  - $$I =  - \sqrt 2 $$
  - $$I = \sqrt 2 $$
  - $$I = 2$$
  * $$I = 0$$

Câu 89: Tính tích phân đường $$I = \int\limits_C x ydl$$, trong đó $$C$$ là phần đường thẳng $$x + y - 1 = 0$$ bị chắn giữa hai trục toạ độ.

  * $$I = \frac{{\sqrt 2 }}{6}$$
  - $$I = 5\frac{{\sqrt 2 }}{6}$$
  - $$I = \sqrt 2 $$
  - $$I =  - \frac{{\sqrt 2 }}{6}$$

Câu 90: Tính tích phân đường $$I = \int\limits_C {\sqrt {{x^2} + {y^2}} } dl$$ trong đó $$C$$ là $$1/2$$ đường tròn $${x^2} + {y^2} = 4$$, $$x \ge 0$$.

  * $$I = 4\pi $$
  - $$I = 8\pi $$
  - $$I = 16\pi $$
  - $$I = 32\pi $$

Câu 91: Tính tích phân đường $$I = \int\limits_C {\sqrt {{x^2} + {y^2}} } dl$$, trong đó $$C$$ là cung tròn $${x^2} + {y^2} = {R^2}$$ nằm ờ góc phần tư thứ nhất.

  * $$I = \frac{{\pi {R^2}}}{2}$$
  - $$I = 2\pi {R^2}$$
  - $$I = \pi {R^2}$$
  - $$I = \frac{{\pi {R^3}}}{4}$$

Câu 92: Tính tích phân $$I = \int\limits_{OA} {(y + 2x)} dx + (4y + x)dy$$ ở đây $OA$ là cung $${y^3} = x$$ từ $$O(0,0)$$ đến $$A(1,1)$$.

  - $$I =  - 4$$
  * $$I = 4$$
  - $$I = 8$$
  - $$I = 0$$

Câu 93: Tính tích phân: $$I = \displaystyle \iint\limits_{S} (2x - 2y +
z)ds$$ trong đó $$S$$ là mặt $$2x - 2y + z - 2 = 0$$, $$1 \le x \le 2$$, $$0 \le y \le 2$$.

  - $$I = 0$$
  - $$I = 4$$
  * $$I = 12$$
  - $$I = 4\sqrt 3 $$

Câu 94: Tính tích phân: $$I = \int\limits_{(0,1)}^{(2,3)} {(y + x)} dx + (x - y)dy$$

  - $$I =  - 3$$
  - $$I = 3$$
  - $$I =  - 4$$
  * $$I = 4$$

Câu 95: Tính tích phân: $$I = \displaystyle \iint\limits_{S} xds$$ trong đó $$S$$ là mặt $$x + y + z = 0$$, $${x^2} + {y^2} \le 1$$.

  * $$I = 0$$
  - $$I = \pi \sqrt 3 $$
  - $$I = 4\pi \sqrt 3 $$
  - $$I = 6\pi \sqrt 3 $$

Câu 96: Hàm số $$y = 2x + C{e^x}$$, $$C$$ là hằng số tuỳ ý, là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân nào sau đây?

  - $$y' - y = {(1 + x)^2}$$
  * $$y' - y = 2(1 - x)$$
  - $$y' + y = {(1 + x)^2}$$
  - $$y' + y = 2(1 - x)$$

Câu 97: Phương trình vi phân nào sau đây đưa được về dạng phương trình tách biến?

  * $${x^2}(x + 1)\arctan ydx + x(1 + {y^2})dy = 0$$
  - $${x^2}(x + y)\ln ydx + (1 + {y^2})(x - 1)dy = 0$$
  - $${x^2}(x + 1)\ln ydx + (x + {y^2})(x - 1)dy = 0$$
  - $$[{x^2} + {(x + y)^2}]\ln ydx + (1 + {y^2})(x - 1)dy = 0$$

Câu 98: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $$y' + \frac{y}{{x + 1}} = 0$$.

  * $$(x + 1)y = C$$
  - $$(x + 1) + y = C$$
  - $${C_1}(x + 1) + {C_2}y = 0$$
  - $${(x + 1)^2} + {y^2} = C$$

Câu 99: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $$\frac{{dx}}{{\sin y}} + \frac{{dy}}{{\cos x}} = 0$$.

  - $$\sin x + \cos y = C$$
  * $$\sin x - \cos y = C$$
  - $${C_1}\sin x + {C_2}\cos y = 0$$
  - $${C_1}\cos x + {C_2}\sin y = 0$$

Câu 100: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $$2xydx + dy = 0$$.

  - $${x^2}y + y = C$$
  - $$x{y^2} + y = C$$
  - $$2xy + 1 = C$$
  * $${x^2} + \ln |y| = C$$

Câu 101: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $$y'' - 3y' + 2y = 0$$.

  - $$y = {C_1}\cos x + {C_2}\sin 2x$$
  - $$y = {e^x}({C_1}\cos 2x + {C_2}\sin 2x)$$
  - $$y = {e^x}({C_1}{e^x} + {C_2}{e^{2x}})$$
  * $$y = {C_1}{e^x} + {C_2}{e^{2x}}$$

Câu 102: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $$xy' = y + x$$.

  * $$y = x(C + \ln |x|)$$
  - $$y = x(C - \ln |x|)$$
  - $$y = \frac{x}{{C + \ln |x|}}$$
  - $$y = \frac{x}{{C - \ln |x|}}$$

Câu 103: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân toàn phần $$(y + {e^x})dx + xdy = 0$$.

  - $$xy - {e^x} = C$$
  * $$xy + {e^x} = C$$
  - $$x + y + {e^x} = C$$
  - $$x - y + {e^x} = C$$

Câu 104: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $$(1 + \sin x)y' + y\cos x = 0$$.

  - $$y(x + \cos x) - \frac{{{y^2}}}{2}\sin x = C$$
  - $$y = C\ln (1 + \sin x)$$
  - $$y = C(1 + \sin x)$$
  * $$y = \frac{C}{{1 + \sin x}}$$

Câu 105: Phương trình $$y'' - 4y' + 4y = {e^{2x}}({x^3} - 4x + 2)$$ có một nghiệm riêng dạng:

  * $$y = {x^2}{e^{2x}}(A{x^3} + B{x^2} + Cx + D)$$
  - $$y = {x^2}(A{x^3} + B{x^2} + Cx + D)$$
  - $$y = {e^{2x}}(A{x^3} + B{x^2} + Cx + D)$$
  - $$y = A{x^3} + B{x^2} + Cx + D$$

Câu 106: Phương trình vi phân $$y'' + 4y' + 4y = \cos x$$ có một nghiệm riêng dạng:

  - $$y = A\sin x$$
  - $$y = {e^{ - 2x}}(A\sin x + B\cos x)$$
  - $$y = {e^{2x}}(A\sin x + B\cos x)$$
  * $$y = A\sin x + B\cos x$$

Câu 107: Phương trình vi phân $$y'' - 4y' + 3y = {e^{3x}}\sin x$$ có một nghiệm riêng dạng:

  - $$y = A\sin x + B\cos x + C$$
  * $$y = {e^{3x}}(A\sin x + B\cos x)$$
  - $$y = x{e^{3x}}(A\sin x + B\cos x)$$
  - $$y = x(A\sin x + B\cos x)$$

Câu 108: Phương trình $$y'' - 8y' + 12y = {e^{2x}}({x^2} - 1)$$ có một nghiệm riêng dạng:

  - $$y = {x^2}(A{x^2} + Bx + C){e^{2x}}$$
  * $$y = x(A{x^2} + Bx + C){e^{2x}}$$
  - $$y = (A{x^2} + Bx + C){e^{2x}}$$
  - $$y = {e^{2x}}(A{x^2} + B)$$

Câu 109: Phương trình vi phân $$y'' + 3y' + 2y = {x^2}{e^x}$$ có một nghiệm riêng dạng:

  - $$y = ({e^{ - x}} + {e^{ - 2x}})(A{x^2} + Bx + C)$$
  - $$y = {e^{ - 2x}}(A{x^2} + Bx + C)$$
  * $$y = {e^x}(A{x^2} + Bx + C)$$
  - $$y = x{e^x}(A{x^2} + Bx + C)$$

Câu 110: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $$y'' + \frac{3}{x}y' = 0$$.

  - $$y = {C_1}{x^3} + {C_2}$$
  - $$y = \frac{{{C_1}}}{{{x^3}}} + {C_2}$$
  * $$y = \frac{{{C_1}}}{{{x^2}}} + {C_2}$$
  - $$y = {C_1}\ln |x| + {C_2}$$

Câu 111: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $$y'' + \frac{1}{x}y' = 0$$.

  - $$y = {C_1}x + {C_2}$$
  - $$y = \frac{{{C_1}}}{x} + {C_2}$$
  - $$y = \frac{{{C_1}}}{{{x^2}}} + {C_2}$$
  * $$y = {C_1}\ln |x| + {C_2}$$

Câu 112: Cho biết một phương trình vi phân nào đó có nghiệm tổng quát là $$y = Cx$$. Đường cong tích phân nào sau đây của phương trình trên qua $$A(1,2)$$?

  - $$y = 2$$
  - $$y = 3x$$
  * $$y = 2x$$
  - $$y = \frac{x}{2}$$

Câu 113: Phương trình vi phân nào sau đây đưa được về dạng phương trình tách biến?

  - $${x^2}(x + 1)\ln ydx + (x + {y^2})(x - y)dy = 0$$
  - $${x^2}(x + y)\ln ydx - (1 + {y^2})(x - 1)dy = 0$$
  - $${x^2}(x + y)\ln ydx + (x + {y^2})(x - 1)dy = 0$$
  * $$[{x^2} + {(x + 1)^2}]\ln ydx - (1 + {y^2})(x + 1)dy = 0$$

Câu 114: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $$\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}} + \frac{{dy}}{{\sqrt {1 - {y^2}} }} = 0$$.

  - $$\arcsin x + \arctan y = C$$
  - $$\arcsin x - \arctan y = C$$
  * $$\arctan x + \arcsin y = C$$
  - $$\arctan x + \ln |y + \sqrt {1 - {y^2}} | = C$$

Câu 115: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $$y'' - y' = 0$$.

  - $$y = {C_1}{e^x} + {C_2}{e^{ - x}}$$
  - $$y = ({C_1}x + {C_2}){e^x}$$
  * $$y = {C_1} + {C_2}{e^x}$$
  - $$y = {C_1} + {C_2}\sin x$$

Câu 116: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân toàn phần $$({e^y} + 1)dx + (x{e^y} + 1)dy = 0$$.

  - $$xy - x{e^y} = C$$
  - $$xy + x{e^y} = C$$
  * $$x + y + x{e^y} = C$$
  - $$x - y + y{e^x} = C$$

Câu 117: Phương trình vi phân $$y'' + 4y' = 2{e^{2x}}$$ có một nghiệm riêng dạng:

  - $$y = (x + A){e^{2x}}$$
  - $$y = Ax + B$$
  * $$y = A{e^{2x}}$$
  - $$y = Ax$$

Câu 118: Phương trình $$y'' + 6y' + 8y = 2x\sin x + \cos x$$ có nghiệm riêng dạng:

  - $$y =  - 2x((Ax + B)\sin x - 4x(Cx + D)\cos x)$$
  - $$y = e - 2x(Ax + B)\sin x$$
  * $$y = (Ax + B)\sin x + (Cx + D)\cos x$$
  - $$y = {e^{ - 4x}}(Ax + B)\cos x$$

Câu 119: Phương trình vi phân $$y'' + 3y' + 2y = {x^2}{e^{ - x}}$$ có một nghiệm riêng dạng:

  - $$y = ({e^{ - x}} + {e^{ - 2x}})(A{x^2} + Bx + C)$$
  - $$y = x{e^{ - 2x}} + A{x^2} + Bx + C$$
  * $$y = x{e^{ - x}}(A{x^2} + Bx + C)$$
  - $$y = {e^{ - x}}(A{x^2} + Bx + C)$$

Câu 120: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $$y'' + \frac{4}{x}y' = 0$$.

  * $$y = \frac{{{C_1}}}{{{x^3}}} + {C_2}$$
  - $$y = {C_1}{x^3} + {C_2}$$
  - $$y = {C_1}{x^2} + {C_2}$$
  - $$y = \frac{{{C_1}}}{{{x^2}}} + {C_2}$$